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二次根式教學(xué)設(shè)計(jì)
作為一名優(yōu)秀的教育工作者,常常要寫一份優(yōu)秀的教學(xué)設(shè)計(jì),借助教學(xué)設(shè)計(jì)可以更好地組織教學(xué)活動。教學(xué)設(shè)計(jì)要怎么寫呢?下面是小編為大家整理的二次根式教學(xué)設(shè)計(jì),希望能夠幫助到大家。
二次根式教學(xué)設(shè)計(jì)1
教學(xué)準(zhǔn)備
1.教學(xué)目標(biāo)
?。?)學(xué)生能用二次根式表示實(shí)際問題中的數(shù)量和數(shù)量關(guān)系,體會研究二次根式的必要性.
?。?)學(xué)生能根據(jù)算術(shù)平方根的意義了解二次根式的概念,知道被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)的理由,知道二次根式本身是一個非負(fù)數(shù),會求二次根式中被開方數(shù)字母的取值范圍. 2.教學(xué)重點(diǎn)/難點(diǎn)
理解二次根式的雙重非負(fù)性.
3.教學(xué)用具
4.標(biāo)簽
教學(xué)過程
1.創(chuàng)設(shè)情境,提出問題
問題1你能用帶有根號的的式子填空嗎?
(1)面積為3 的正方形的邊長為_______,面積為S 的正方形的邊長為_______.
(2)一個長方形圍欄,長是寬的2 倍,面積為130m?,則它的寬為______m.
?。?)一個物體從高處自由落下,落到地面所用的時間 t(單位:s)與開始落下的高度h(單位:m)滿足關(guān)系 h =5t?,如果用含有h 的式子表示 t ,則t= _____.
師生活動:學(xué)生獨(dú)立完成上述問題,用算術(shù)平方根表示結(jié)果,教師進(jìn)行適當(dāng)引導(dǎo)和評價.
【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生在填空過程中初步感知二次根式與實(shí)際生活的緊密聯(lián)系,體會研究二次根式的必要性.
問題2 上面得到的式子
分別表示什么意義?它們有什么共同特征?
師生活動:教師引導(dǎo)學(xué)生說出各式的意義,概括它們的共同特征:都表示一個非負(fù)數(shù)(包括字母或式子表示的非負(fù)數(shù))的算術(shù)平方根.
【設(shè)計(jì)意圖】為概括二次根式的概念作鋪墊.
2.抽象概括,形成概念
問題3 你能用一個式子表示一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根嗎?
師生活動:學(xué)生小組討論,全班交流.教師由此給出二次根式的定義:一般地,我們把形如
【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生體會由特殊到一般的過程,培養(yǎng)學(xué)生的概括能力.
追問:在二次根式的概念中,為什么要強(qiáng)調(diào)“a≥0”?
師生活動:教師引導(dǎo)學(xué)生討論,知道二次根式被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)的理由.
【設(shè)計(jì)意圖】進(jìn)一步加深學(xué)生對二次根式被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)的理解. 3.辨析概念,應(yīng)用鞏固
問題4你能比較與0的大小嗎?
4.綜合運(yùn)用,鞏固提高
練習(xí)1 完成教科書第3頁的練習(xí).
練習(xí)2 當(dāng)x 是什么實(shí)數(shù)時,下列各式有意義
課堂小結(jié)
教師和學(xué)生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容,并請學(xué)生回答以下問題.
?。?)本節(jié)課你學(xué)到了哪一類新的式子?
?。?)二次根式有意義的條件是什么?二次根式的值的范圍是什么?
?。?)二次根式與算術(shù)平方根有什么關(guān)系?
課后習(xí)題
二次根式教學(xué)設(shè)計(jì)2
教學(xué)目標(biāo)
1、使學(xué)生理解最簡二次根式的概念;
2、掌握把二次根式化為最簡二次根式的方法。
教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)
重點(diǎn):化二次根式為最簡二次根式的方法。
難點(diǎn):最簡二次根式概念的理解。
一、導(dǎo)入新課
計(jì)算:
我們再看下面的問題:
簡,得到
從上面例子可以看出,如果把二次根式先進(jìn)行化簡,會對解決問題帶來方便。
二、新課
答:
1、被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)或整式;
2、被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式。
滿足上面兩個條件的二次根式叫做最簡二次根式。
例1 試判斷下列各式中哪些是最簡二次根式,哪些不是?為什么?
解
?。?)不是最簡二次根式。因?yàn)閍3=a2·a,而a2可以開方,即被開方數(shù)中有開得盡方的因式。整數(shù)。
(3)是最簡二次根式。因?yàn)楸婚_方數(shù)的因式x2+y2開不盡方,而且是整式。
?。?)是最簡二次根式。因?yàn)楸婚_方數(shù)的因式a-b開不盡方,而且是整式。
?。?)是最簡二次根式。因?yàn)楸婚_方數(shù)的因式5x開不盡方,而且是整式。
(6)不是最簡二次根式。因?yàn)楸婚_方數(shù)中的因數(shù)8=22·2,含有開得盡的因數(shù)22。
指出:從(1),(2),(6)題可以看到如下兩個結(jié)論。
1、在二次根式的被開方數(shù)中,只要含有分?jǐn)?shù)或小數(shù),就不是最簡二次根式;
2、在二次根式的被開方數(shù)中的每一個因式(或因數(shù)),如果冪的指數(shù)等于或大于2,也不是最簡二次根式。
例2 把下列各式化為最簡二次根式:
分析:把被開方數(shù)分解因式或因數(shù),再利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)
例3 把下列各式化成最簡二次根式:
分析:題(1)的被開方數(shù)是帶分?jǐn)?shù),應(yīng)把它變成假分?jǐn)?shù),然后將分母有理化,把原式化成最簡二次根式。
題(2)及題(3)的被開方數(shù)是分式,先應(yīng)用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)把原式表示為兩個根式的商的形式,再把分母有理化,把原式化成最簡二次根式。
通過例2、例3,請同學(xué)們總結(jié)出把二次根式化成最簡二次根式的方法。
答:如果被開方數(shù)是分式或分?jǐn)?shù)(包括小數(shù))先利用商的算術(shù)平方根的性質(zhì),把它寫成分式的形式,然后利用分母有理化化簡。
如果被開方數(shù)是整式或整數(shù),先把它分解因式或分解因數(shù),然后把開得盡方的因式或因數(shù)開出來,從而將式子化簡。
三、課堂練習(xí)
1、在下列各式中,是最簡二次根式的式子為 [ ]的二次根式的式子有_____個。 [ ]
A、2 B、3
C、1 D、0
3、把下列各式化成最簡二次根式:
答案:
1、B
2、B
四、小結(jié)
1、最簡二次根式必須滿足兩個條件:
?。?)被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù),因式是整式;
(2)被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式。
2、把一個式子化為最簡二次根式的方法是:
?。?)如果被開方數(shù)是整式或整數(shù),先把它分解成因式(或因數(shù))的積的形式,把開得盡方的因式(或因數(shù))移到根號外;
?。?)如果被開方數(shù)含有分母,應(yīng)去掉分母的根號。
五、作業(yè)
1、把下列各式化成最簡二次根式:
2、把下列各式化成最簡二次根式:
二次根式教學(xué)設(shè)計(jì)3
一、教學(xué)目標(biāo):
?。ㄒ唬┲R與技能:
1.了解二次根式的概念,會確定二次根式成立的條件。
2.會用二次根式性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)計(jì)算。
3.
了解逆用公式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解。
?。ǘ┻^程與方法:體驗(yàn)性質(zhì)的推導(dǎo)過程,感受由特殊到一般的方法。
?。ㄈ┣楦袘B(tài)度:激發(fā)對數(shù)學(xué)的興趣。
二、教學(xué)重點(diǎn):
二次根式成立的條件,雙重非負(fù)性;
用性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算。
三、教學(xué)難點(diǎn)
性質(zhì)的逆用。
四、教學(xué)準(zhǔn)備:課件
五、教學(xué)過程
(一)復(fù)習(xí)提問
1.什么叫二次根式?
2.下列各式是二次根式,求式子中的字母所滿足的條件:
(3)∵x取任何值都有2x2≥0,所以2x2+1>0,故x的取值為任意實(shí)數(shù).
(二)二次根式的簡單性質(zhì)
上節(jié)課我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了二次根式的定義,并了解了第一個簡單性質(zhì)
我們知道,正數(shù)a有兩個平方根,分別記作零的平方根是零。引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出,其中,就是一個非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根。將符號“”看作開平方求算術(shù)平方根的運(yùn)算,看作將一個數(shù)進(jìn)行平方的運(yùn)算,而開平方運(yùn)算和平方運(yùn)算是互為逆運(yùn)算,因而有:
這里需要注意的是公式成立的條件是a≥0,提問學(xué)生,a可以代表一個代數(shù)式嗎?
請分析:引導(dǎo)學(xué)生答如時才成立。時才成立,即a取任意實(shí)數(shù)時都成立。我們知道如果我們把,同學(xué)們想一想是否就可以把任何一個非負(fù)數(shù)寫成一個數(shù)的平方形式了.
例1
計(jì)算:
分析:這個例題中的四個小題,主要是運(yùn)用公式。其中(2)、(3)、(4)題又運(yùn)用了整式乘除中學(xué)習(xí)的積的冪的運(yùn)算性質(zhì).結(jié)合第(2)小題中的,說明,這與帶分?jǐn)?shù)。因此,以后遇到,應(yīng)寫成,而不宜寫成。
例2
把下列非負(fù)數(shù)寫成一個數(shù)的平方的形式:
(1)5;
(2)11;
(3)1.6;
(4)0.35.
例3
把下列各式寫成平方差的形式,再分解因式:
(1)4x2-1; (2)a4-9;
(3)3a2-10; (4)a4-6a2+9.
解:(1)4x2-1
=(2x)2-12
=(2x+1)(2x-1).
(2)a4-9
=(a2)2-32
=(a2+3)(a2-3)
(3)3a2-10
(4)a4-6a2+32
=(a2)2-6a2+32
=(a2-3)2
(三)小結(jié)
1.繼續(xù)鞏固二次根式的定義,及二次根式中被開方數(shù)的取值范圍問題.
2.關(guān)于公式的應(yīng)用。
(1)經(jīng)常用于乘法的運(yùn)算中.
(2)可以把任何一個非負(fù)數(shù)寫成一個數(shù)的平方的形式,解決在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解等方面的問題.
(四)練習(xí)和作業(yè)
練習(xí):
1.填空
注意第(4)題需有2m≥0,m≥0,又需有-3m≥0,即m≤0,故m=0.
2.實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)的位置如下圖所示:
分析:通過本題滲透數(shù)形結(jié)合的思想,進(jìn)一步鞏固二次根式的定義、性質(zhì),引導(dǎo)學(xué)生分析:由于a<0,b>0,且|a|>|b|.
3.計(jì)算
二、作業(yè)
教材P.172習(xí)題11.1;A組2、3;B組2.
補(bǔ)充作業(yè):
下列各式中的字母滿足什么條件時,才能使該式成為二次根式?
分析:要使這些式成為二次根式,只要被開方式是非負(fù)數(shù)即可,啟發(fā)學(xué)生分析如下:
(1)由-|a-2b|≥0,得a-2b≤0,
但根據(jù)絕對值的性質(zhì),有|a-2b|≥0,
∴
?。黙-2b|=0,即a-2b=0,得a=2b.
(2)由(-m2-1)(m-n)≥0,-(m2+1)(m-n)≥0
∴
(m2+1)(m-n)≤0,又m2+1>0,
∴
m-n≤0,即m≤n.
二次根式教學(xué)設(shè)計(jì)4
教學(xué)建議
知識結(jié)構(gòu):
重點(diǎn)難點(diǎn)分析:
是商的二次根式的性質(zhì)及利用性質(zhì)進(jìn)行二次根式的化簡與運(yùn)算,利用分母有理化化簡。商的算術(shù)平方根的性質(zhì)是本節(jié)的主線,學(xué)生掌握性質(zhì)在二次根使得化簡和運(yùn)算的運(yùn)用是關(guān)鍵,從化簡與運(yùn)算由引出初中重要的內(nèi)容之一分母有理化,分母有理化的理解決定了最簡二次根式化簡的掌握。
教學(xué)難點(diǎn)是與商的算術(shù)平方根的關(guān)系及應(yīng)用。與乘法既有聯(lián)系又有區(qū)別,強(qiáng)調(diào)根式除法結(jié)果的一般形式,避免分母上含有根號。由于分母有理化難度和復(fù)雜性大,要讓學(xué)生首先理解分母有理化的意義及計(jì)算結(jié)果形式。
教法建議:
1。 本節(jié)內(nèi)容是在有積的二次根式性質(zhì)的基礎(chǔ)后學(xué)習(xí),因此可以采取學(xué)生自主探索學(xué)習(xí)的模式,通過前一節(jié)的復(fù)習(xí),讓學(xué)生通過具體實(shí)例再結(jié)合積的性質(zhì),對比、歸納得到商的二次根式的性質(zhì)。教師在此過程當(dāng)中給與適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo),提出問題讓學(xué)生有一定的探索方向。
2。 本節(jié)內(nèi)容可以分為三課時,第一課時討論商的算術(shù)平方根的性質(zhì),并運(yùn)用這一性質(zhì)化簡較簡單的二次根式(被開方數(shù)的分母可以開得盡方的二次根式);第二課時討論法則,并運(yùn)用這一法則進(jìn)行簡單的運(yùn)算以及二次根式的乘除混合運(yùn)算,這一課時運(yùn)算結(jié)果不包括根號出現(xiàn)內(nèi)出現(xiàn)分式或分?jǐn)?shù)的情況;第三課時討論分母有理化的概念及方法,并進(jìn)行二次根式的乘除法運(yùn)算,把運(yùn)算結(jié)果分母有理化。這樣安排使內(nèi)容由淺入深,各部分相互聯(lián)系,因此及彼,層層展開。
3。 引導(dǎo)學(xué)生思考“想一想”中的內(nèi)容,培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性,教師組織學(xué)生思考、討論過程當(dāng)中,鼓勵學(xué)生大膽猜想,積極探索,運(yùn)用類比、歸納和從特殊到一般的思考方法激發(fā)學(xué)生創(chuàng)造性的思維。
教學(xué)設(shè)計(jì)示例
一、教學(xué)目標(biāo)
1.掌握商的算術(shù)平方根的性質(zhì),能利用性質(zhì)進(jìn)行二次根式的化簡與運(yùn)算;
2.會進(jìn)行簡單的運(yùn)算;
3.使學(xué)生掌握分母有理化概念,并能利用分母有理化解決二次根式的化簡及近似計(jì)算問題;
4。 培養(yǎng)學(xué)生利用公式進(jìn)行化簡與計(jì)算的能力;
5。 通過二次根式公式的引入過程,滲透從特殊到一般的歸納方法,提高學(xué)生的歸納總結(jié)能力;
6。 通過分母有理化的教學(xué),滲透數(shù)學(xué)的簡潔性。
二、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)
1.重點(diǎn):會利用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)進(jìn)行二次根式的化簡,會進(jìn)行簡單的運(yùn)算,還要使學(xué)生掌握采用分母有理化的方法進(jìn)行.
2.難點(diǎn):與商的算術(shù)平方根的關(guān)系及應(yīng)用.
三、教學(xué)方法
從特殊到一般總結(jié)歸納的方法以及類比的方法,在學(xué)習(xí)了二次根式乘法的基礎(chǔ)上本小節(jié)
內(nèi)容可引導(dǎo)學(xué)生自學(xué),進(jìn)行總結(jié)對比.
四、教學(xué)手段
利用投影儀.
五、教學(xué)過程
(一) 引入新課
學(xué)生回憶及得算數(shù)平方根和性質(zhì): (a≥0,b≥0)是用什么樣的方法引出的?(上述積的算術(shù)平方根的性質(zhì)是由具體例子引出的.)
學(xué)生觀察下面的`例子,并計(jì)算:
由學(xué)生總結(jié)上面兩個式的關(guān)系得:
類似地,每個同學(xué)再舉一個例子,然后由這些特殊的例子,得出:
(二)新課
商的算術(shù)平方根.
一般地,有 (a≥0,b>0)
商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根.
讓學(xué)生討論這個式子成立的條件是什么?a≥0,b>0,對于為什么b>0,要使學(xué)生通過討論明確,因?yàn)閎=0時分母為0,沒有意義.
引導(dǎo)學(xué)生從運(yùn)算順序看,等號左邊是將非負(fù)數(shù)a除以正數(shù)b求商,再開方求商的算術(shù)平方根,等號右邊是先分別求被除數(shù)、除數(shù)的算術(shù)平方根,然后再求兩個算術(shù)平方根的商,根據(jù)商的算術(shù)平方根的性質(zhì)可以進(jìn)行簡單的二次根式的化簡與運(yùn)算.
例1 化簡:
(1) ; (2) ; (3) ;
解∶(1)
(2)
(3)
說明:如果被開方數(shù)是帶分?jǐn)?shù),在運(yùn)算時,一般先化成假分?jǐn)?shù);本節(jié)根號下的字母均為正數(shù)。
例2 化簡:
?。?) ; (2) ;
解:(1)
?。?)
讓學(xué)生觀察例題中分母的特點(diǎn),然后提出, 的問題怎樣解決?
再總結(jié):這一小節(jié)開始講的二次根式的化簡,只限于所得結(jié)果的式子中分母可以完全開的盡方的情況, 的問題,我們將在今后的學(xué)習(xí)中解決。
學(xué)生討論本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容,并進(jìn)行小結(jié).
(三)小結(jié)
1.商的算術(shù)平方根的性質(zhì).(注意公式成立的條件)
2.會利用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)進(jìn)行簡單的二次根式的化簡.
(四)練習(xí)
1.化簡:
?。?) ; (2) ; (3) 。
2.化簡:
?。?) ; (2) ; (3)
六、作業(yè)
教材P.183習(xí)題11.3;A組1.
七、板書設(shè)計(jì)
二次根式教學(xué)設(shè)計(jì)5
1、通過二次根式混合運(yùn)算的學(xué)習(xí),進(jìn)一步了解二次根式運(yùn)算法則,知道二次根式混合運(yùn)算順序,會進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算。
2、在進(jìn)行二次根式混合運(yùn)算的過程中,體會類比思想,逐步養(yǎng)成認(rèn)真仔細(xì)的學(xué)習(xí)品質(zhì),進(jìn)一步提高運(yùn)算能力。
教學(xué)重點(diǎn):二次根式混合運(yùn)算算理的理解。
教學(xué)難點(diǎn):類比整式運(yùn)算準(zhǔn)確快速的進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算。
教學(xué)過程:
一、情境誘導(dǎo)
《二次根式混合運(yùn)算習(xí)題課》教學(xué)設(shè)計(jì)-楊桂花
二、練習(xí)指導(dǎo)
(學(xué)生完成練習(xí)提綱,可以討論,老師做必要的板書準(zhǔn)備,然后巡回指導(dǎo),了解情況、)
練習(xí)提綱:《二次根式混合運(yùn)算習(xí)題課》教學(xué)設(shè)計(jì)-楊桂花
三、展示歸納
1、學(xué)生匯報解題過程,生說師寫;
2、發(fā)動其他學(xué)生評價補(bǔ)充完善;
3、師畫龍點(diǎn)睛強(qiáng)調(diào):
(1)二次根式混合運(yùn)算的運(yùn)算順序跟有理數(shù)運(yùn)算順序一樣,先乘方,再乘除,最后加減。
?。?)二次根式混合運(yùn)算與整式的運(yùn)算有很多相似之處,因此可類比整式的運(yùn)算進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算。
四、變式練習(xí)
(先讓學(xué)生獨(dú)立完成,老師做必要的板書準(zhǔn)備后巡回指導(dǎo),了解情況; 然后讓有一定問題的學(xué)生匯報展示,發(fā)動學(xué)生評價完善,老師強(qiáng)調(diào)關(guān)鍵地方,總結(jié)思想方法。)
《二次根式混合運(yùn)算習(xí)題課》教學(xué)設(shè)計(jì)-楊桂花
五、小結(jié)
本節(jié)課你有哪些收獲?還有什么要提醒同學(xué)們注意的。(學(xué)生總結(jié),百花齊放,老師不做限定,沒說到的,老師補(bǔ)充。)
六、布置作業(yè)
《二次根式混合運(yùn)算習(xí)題課》教學(xué)設(shè)計(jì)-楊桂花
二次根式教學(xué)設(shè)計(jì)6
一、教學(xué)目標(biāo)
1.掌握二次根式的混合運(yùn)算.
2.掌握混合運(yùn)算的應(yīng)用.
3.通過二次根式的混合運(yùn)算,培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力.
4.通過混合運(yùn)算知識拓展,培養(yǎng)學(xué)生的探索精神
二、教學(xué)設(shè)計(jì)
小結(jié)、歸納、提高
三、重點(diǎn)、難點(diǎn)解決辦法
1.教學(xué)重點(diǎn):二次根式的混合運(yùn)算.
2.教學(xué)難點(diǎn):混合運(yùn)算的應(yīng)用.
四、課時安排
1課時
五、教具學(xué)具準(zhǔn)備
投影儀、膠片、多媒體
六、師生互動活動設(shè)計(jì)
復(fù)習(xí)小結(jié),歸納整理,應(yīng)用提高,以學(xué)生活動為主
七、教學(xué)過程
【例題】
例1 化簡:
?。?) ; (2) .
解:(1)
?。?)
說明:在計(jì)算過程中要注意各個式子的特點(diǎn),能否約分或消項(xiàng)(第2小題)達(dá)到化簡的目的,又要善于在規(guī)則允許的情況下可變換相鄰項(xiàng)的位置,如 ,結(jié)果為-1,繼續(xù)運(yùn)算易出現(xiàn)符號上的差錯,而把 先變?yōu)?,這樣 則為1,繼續(xù)運(yùn)算可避免錯誤.
例2 解下列方程(組):
?。?)
?。?)
?。?)
解:(1)
.
?。?)①× ,得
?、?/p>
?、凇?,得
?、?/p>
?、郏?,得
把 代入①,得
解得 .
∴
是原方程組的解.
?。?)由②,得
?、?/p>
?、佟?,得
?、?/p>
?、郏?,得
把 代入①,得
?。?/p>
∴ 是原方程組的解.
例3 已知 , ,求 的值.
解: .
?。?/p>
, ,
∴ .
例4 已知 , ,求 的值.
解: , .
?。?/p>
(二)隨堂練習(xí)
1.教材中P206中8.
2.解不等式: .
解:
∴
?。?/p>
3.已知 , ,求 的值.
解:3. ,或 .
?。?/p>
∴
?。?/p>
4.已知 , ,求: 的值.
解 4.
.
5.已知 ,求 的值.
解 5. .
.
6.不求方根的值比較 與 的大?。?/p>
解 6.∵
∴
∴
?。ㄈ┛偨Y(jié)、擴(kuò)展
根據(jù)已知條件,求一個代數(shù)的值,要注意條件或代數(shù)式的化簡,有時條件和要求的代數(shù)式都需要化簡,當(dāng)把條件化簡后,代數(shù)式的化簡要朝著條件化簡的結(jié)果去化簡.
?。ㄋ模┎贾米鳂I(yè)
教材中P207B組1、3和補(bǔ)充作業(yè).
補(bǔ)充作業(yè):
1.已知 ,求 的值.
2.已知 , ,求 的值.
?。ㄎ澹┌鍟O(shè)計(jì)
標(biāo) 題
1.例題……
3.例題……
2.練習(xí)題
4.練習(xí)題
八、背景知識與課外閱讀
二次根式的混和運(yùn)算方法和順序
1.方法 (1)應(yīng)用二次根式乘法、除法和加減法運(yùn)算法則.
?。?)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)運(yùn)算律仍適用.
(3)二次根式的乘法,與多項(xiàng)式的乘法相類似,遇運(yùn)用多項(xiàng)式乘法公式時,也可以運(yùn)用乘法公式.
2.順序 先乘方、后乘除,最后加減,有括號的先算括號內(nèi)的數(shù).
二次根式教學(xué)設(shè)計(jì)7
1.能用二次根式表示實(shí)際問題中的數(shù)量及數(shù)量關(guān)系,體會研究二次根式的必要性;(難點(diǎn))
2.能根據(jù)算術(shù)平方根的意義了解二次根式的概念及性質(zhì),會求二次根式中被開方數(shù)中字母的取值范圍.(重點(diǎn))
一、情境導(dǎo)入
問題1:你能用帶有根號的式子填空嗎?
(1)面積為3的正方形的邊長為________,面積為S的正方形的邊長為________.
(2)一個長方形圍欄,長是寬的2倍,面積為130m2,則它的寬為________m.
(3)一個物體從高處自由落下,落到地面所用的時間t(單位:s)與落下的高度h(單位:m)滿足關(guān)系h=5t2,如果用含有h的式子表示t,則t=______.
問題2:上面得到的式子,,,分別表示什么意義?它們有什么共同特征?
二、合作探究
探究點(diǎn)一:二次根式的定義
下列各式中,哪些是二次根式,哪些不是二次根式?
(1);(2);(3);
(4);(5);(6)(x≤3);
(7)(x≥0);(8);(9);
(10)(ab≥0).
解析:要判斷一個根式是不是二次根式,一是看根指數(shù)是不是2,二是看被開方數(shù)是不是非負(fù)數(shù).
解:因?yàn)椋?,=?x≤3),,(ab≥0)中的根指數(shù)都是2,且被開方數(shù)為非負(fù)數(shù),所以都是二次根式.的根指數(shù)不是2,,(x≥0),的被開方數(shù)小于0,所以不是二次根式.
方法總結(jié):判斷一個式子是不是二次根式,要看所給的式子是否具備以下條件:(1)帶二次根號“”;(2)被開方數(shù)是非負(fù)數(shù).
探究點(diǎn)二:二次根式有意義的條件
【類型一】 根據(jù)二次根式有意義求字母的取值范圍
求使下列式子有意義的x的取值范圍.
(1);(2);(3).
解析:根據(jù)二次根式的性質(zhì)和分式的意義,被開方數(shù)大于或等于0且分母不等于0,列不等式(組)求解.
解:(1)由題意得4-3x>0,解得x<.當(dāng)x<時,有意義;
(2)由題意得解得x≤3且x≠2.當(dāng)x≤3且x≠2時,有意義;
(3)由題意得解得x≥-5且x≠0.當(dāng)x≥-5且x≠0時,有意義.
方法總結(jié):含二次根式的式子有意義的條件:
(1)如果一個式子中含有多個二次根式,那么它們有意義的條件是各個二次根式中的被開方數(shù)都必須是非負(fù)數(shù);(2)如果所給式子中含有分母,則除了保證二次根式中的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)外,還必須保證分母不為零.
【類型二】 利用二次根式的非負(fù)性求解
(1)已知a、b滿足+|b-|=0,解關(guān)于x的方程(a+2)x+b2=a-1;
(2)已知x、y都是實(shí)數(shù),且y=++4,求yx的平方根.
解析:(1)根據(jù)二次根式的非負(fù)性和絕對值的非負(fù)性求解即可;(2)根據(jù)二次根式的非負(fù)性即可求得x的值,進(jìn)而求得y的值,進(jìn)而可求出yx的平方根.
解:(1)根據(jù)題意得解得則(a+2)x+b2=a-1,即-2x+3=-5,解得x=4;
(2)根據(jù)題意得解得x=3.則y=4,故yx=43=64,±=±8,∴yx的平方根為±8.
方法總結(jié):二次根式和絕對值都具有非負(fù)性,幾個非負(fù)數(shù)的和為0,這幾個非負(fù)數(shù)都為0.
探究點(diǎn)三:和二次根式有關(guān)的規(guī)律探究性問題
先觀察下列等式,再回答下列問題.
?、伲?+-=1;
?、冢?+-=1;
?、郏?+-=1.
(1)請你根據(jù)上面三個等式提供的信息,寫出的結(jié)果;
(2)請你按照上面各等式反映的規(guī)律,試寫出用
含n的式子表示的等式(n為正整數(shù)).
解析:(1)從三個等式中可以發(fā)現(xiàn),等號右邊第一個加數(shù)都是1,第二個加數(shù)是個分?jǐn)?shù),設(shè)分母為n,第三個分?jǐn)?shù)的分母就是n+1,結(jié)果是一個帶分?jǐn)?shù),整數(shù)部分是1,分?jǐn)?shù)部分的分子也是1,分母是前項(xiàng)分?jǐn)?shù)的分母的積;(2)根據(jù)(1)找的規(guī)律寫出表示這個規(guī)律的式子.
解:(1)=1+-=1;
(2)=1+-=1(n為正整數(shù)).
方法總結(jié):解答規(guī)律探究性問題,都要通過仔細(xì)觀察找出字母和數(shù)之間的關(guān)系,通過閱讀找出題目隱含條件并用關(guān)系式表示出來.
三、板書設(shè)計(jì)
1.二次根式的定義
一般地,我們把形如(a≥0)的式子叫做二次根式.
2.二次根式有意義的條件
被開方數(shù)(式)為非負(fù)數(shù);有意義?a≥0.
通過將新知識與舊知識進(jìn)行聯(lián)系與對比,隨后由學(xué)生熟悉的實(shí)際問題出發(fā),用已有的知識進(jìn)行探究,由此引入二次根式.在教學(xué)過程中讓學(xué)生感受到研究二次根式是實(shí)際的需要,體會到數(shù)學(xué)與實(shí)際生活間的緊密聯(lián)系,以此充分激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.
二次根式教學(xué)設(shè)計(jì)
《二次根式》教學(xué)反思
二次根式教學(xué)設(shè)計(jì)8
1教學(xué)目標(biāo)
?。?)利用歸納類比的方法得出二次根式的除法法則和商的算術(shù)平方根的性質(zhì);
?。?)會進(jìn)行簡單的二次根式的除法運(yùn)算;
?。?) 理解最簡二次根式的概念
2學(xué)情分析
本節(jié)內(nèi)容主要是在做二次根式的除法運(yùn)算時,分母含根號的處理方式上,學(xué)生可能會出現(xiàn)困難或容易失誤,在除法運(yùn)算中,可以先計(jì)算后利用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)來進(jìn)行,也可以先利用分式的性質(zhì),去掉分母中的根號,再結(jié)合乘法法則和積的算術(shù)平方根的性質(zhì)來進(jìn)行。二次根式的除法與分式的運(yùn)算類似,如果分子、分母中含有相同的因式,可以直接約去,以簡化運(yùn)算。教學(xué)中不能只是列舉題型,應(yīng)以各級各類習(xí)題為載體,引導(dǎo)學(xué)生把握運(yùn)算過程,估計(jì)運(yùn)算結(jié)果,明確運(yùn)算方向。
3重點(diǎn)難點(diǎn)
重點(diǎn):二次根式的乘法法則與積的算術(shù)平方根的性質(zhì).
難點(diǎn):二次根式的除法法則與商的算術(shù)平方根的性質(zhì)之間的關(guān)系和應(yīng)用。
4教學(xué)過程
4。1 第一學(xué)時
教學(xué)活動
活動1【導(dǎo)入】復(fù)習(xí)提問,探究規(guī)律
問題1 二次根式的乘法法則是什么內(nèi)容?化簡二次根式的一般步驟怎樣?
師生活動 學(xué)生回答。
【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生回憶探究乘法法則的過程,類比該過程,學(xué)生可以探究除法法則.
2.觀察思考,理解法則
問題2 教材第8頁“探究”欄目,計(jì)算結(jié)果如何?有何規(guī)律?
師生活動 學(xué)生回答,給出正確答案后,教師引導(dǎo)學(xué)生思考,并總結(jié)二次根式除法法則:。
問題3 對比乘法法則里字母的取值范圍,除法法則里字母的取值范圍有何變化?
師生活動 學(xué)生思考,回答。學(xué)生能說明根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義知道,分母不為零就可以了。
【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生通過自主探究,采用類比的方法,得出二次根式的除法法則后,要明確字母的取值范圍,以免在處理更為復(fù)雜的二次根式的運(yùn)算時出現(xiàn)錯誤。
問題4 對例題的運(yùn)算你有什么看法?是如何進(jìn)行的?
師生活動 學(xué)生利用法則直接運(yùn)算,一般根號下不含分母和開得盡方的因數(shù)。
【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生初步利用二次根式的性質(zhì)、乘除法法則進(jìn)行簡單的運(yùn)算。
問題5 對比積的算術(shù)平方根的性質(zhì),商的算術(shù)平方根有沒有類似性質(zhì)?
師生活動 學(xué)生類比地發(fā)現(xiàn),商的算術(shù)平方根等于算術(shù)平方根的商,即 。利用該性質(zhì)可以進(jìn)行二次根式的化簡。
活動2【講授】觀察思考,理解法則
問題2 教材第8頁“探究”欄目,計(jì)算結(jié)果如何?有何規(guī)律?
師生活動 學(xué)生回答,給出正確答案后,教師引導(dǎo)學(xué)生思考,并總結(jié)二次根式除法法則:。
問題3 對比乘法法則里字母的取值范圍,除法法則里字母的取值范圍有何變化?
師生活動 學(xué)生思考,回答。學(xué)生能說明根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義知道,分母不為零就可以了。
【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生通過自主探究,采用類比的方法,得出二次根式的除法法則后,要明確字母的取值范圍,以免在處理更為復(fù)雜的二次根式的運(yùn)算時出現(xiàn)錯誤。
問題4 對例題的運(yùn)算你有什么看法?是如何進(jìn)行的?
師生活動 學(xué)生利用法則直接運(yùn)算,一般根號下不含分母和開得盡方的因數(shù)。
【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生初步利用二次根式的性質(zhì)、乘除法法則進(jìn)行簡單的運(yùn)算。
問題5 對比積的算術(shù)平方根的性質(zhì),商的算術(shù)平方根有沒有類似性質(zhì)?
師生活動 學(xué)生類比地發(fā)現(xiàn),商的算術(shù)平方根等于算術(shù)平方根的商,即 。利用該性質(zhì)可以進(jìn)行二次根式的化簡。
活動3【活動】例題示范,學(xué)會應(yīng)用
例1 計(jì)算: (1) ; (2) ; (3) 。
師生活動 提問:你有幾種方法去掉分母中的根號?去分母的依據(jù)分別是什么?
再提問:第(2)用什么方法計(jì)算更簡捷?第(3)題根號下含字母在移出根號時應(yīng)注意什么?
【設(shè)計(jì)意圖】通過具體問題,讓學(xué)生在實(shí)際運(yùn)算中培養(yǎng)運(yùn)算能力,訓(xùn)練運(yùn)算技能,
問題5 你能從例題的解答過程中,總結(jié)一下二次根式的運(yùn)算結(jié)果有什么特征嗎?
師生活動 學(xué)生總結(jié),師生共同補(bǔ)充、完善。要總結(jié)出:
?。?)這些根式的被開方數(shù)都不含分母;
?。?)被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式;
?。?)分母中不含根號;
【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生及時總結(jié),提出最簡二次根式的概念,要強(qiáng)調(diào),在二次根式的運(yùn)算中,一般要把最后結(jié)果化為最簡二次根式。
問題6 課件展示一組二次根式的計(jì)算、化簡題。
【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生用總結(jié)出的結(jié)論進(jìn)行二次根式的運(yùn)算。
活動4【練習(xí)】鞏固概念,學(xué)以致用
例2 教材第9頁例7。
師生活動 提問 本題是以長方形面積為背景的數(shù)學(xué)問題,二次根式的除法運(yùn)算在此發(fā)揮什么作用?
再提問 章引言中的問題現(xiàn)在能解決了嗎?
【設(shè)計(jì)意圖】鞏固性練習(xí),同時培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用二次根式的乘除運(yùn)算法則解決實(shí)際問題的能力。
活動5【測試】目標(biāo)檢測設(shè)計(jì)
1.在 、 、 中,最簡二次根式為 。
【設(shè)計(jì)意圖】考查對最簡二次根式的概念的理解。
2.化簡下列各式為最簡二次根式: ; 。
【設(shè)計(jì)意圖】復(fù)習(xí)二次根式的運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)。鼓勵學(xué)生用不同方法進(jìn)行計(jì)算。對于分母含二次根式的處理,要結(jié)合整式的乘法公式進(jìn)行計(jì)算。
3.化簡:(1) ; (2) 。
【設(shè)計(jì)意圖】綜合運(yùn)用二次根式的概念、性質(zhì)和運(yùn)算法則進(jìn)行二次根式的運(yùn)算。
活動6【作業(yè)】布置作業(yè)
教科書第10頁練習(xí)第1,2,3題;
教科書習(xí)題16。2第10,11題。
二次根式教學(xué)設(shè)計(jì)9
一、教學(xué)目標(biāo)
知識與技能:
1、理解二次根式的概念。
2、理解二次根式的基本性質(zhì)。
過程與方法:
能運(yùn)用二次根式的概念解決有關(guān)問題、
情感態(tài)度與價值觀:
經(jīng)歷觀察、比較、總結(jié)和應(yīng)用等數(shù)學(xué)活動,感受數(shù)學(xué)活動充滿了探索性和創(chuàng)造性,體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的快樂,并提高應(yīng)用的意識。
二、學(xué)情分析
學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了“整式”、“平方根”、“算術(shù)平方根”等知識,已經(jīng)具備了學(xué)習(xí)二次根式的知識基礎(chǔ)和心理基礎(chǔ),但學(xué)生剛認(rèn)識二次根式,學(xué)習(xí)將有一定難度。學(xué)生知識障礙點(diǎn)是二次根式的概念及運(yùn)算,如果學(xué)生在此不能很好地理解和正確的認(rèn)知,將對今后學(xué)習(xí)產(chǎn)生很大影響,所以要求學(xué)生積極探究、思考,及時加以鞏固,克服學(xué)習(xí)困難,真正“學(xué)會”。
三、重點(diǎn)難點(diǎn)
1、教學(xué)重點(diǎn)為了解二次根式的概念,知道被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)的理由,知道二次根式本身是一個非負(fù)數(shù),會求二次根式中被開方數(shù)字母的取值范圍.
2、教學(xué)難點(diǎn)為:理解二次根式的雙重非負(fù)性、
四、教學(xué)過程
活動1【導(dǎo)入】活動一
問題1你能用帶有根號的的式子填空嗎?
?。?)面積為3的正方形的邊長為_______,面積為S的正方形的邊長為_______.
?。?)一個長方形圍欄,長是寬的2倍,面積為130m?,則它的寬為______m.
?。?)一個物體從高處自由落下,落到地面所用的時間t(單位:s)與開始落下的高度h(單位:m)滿足關(guān)系h =5t?,如果用含有h的式子表示t,則t= _____.
師生活動:學(xué)生獨(dú)立完成上述問題,用算術(shù)平方根表示結(jié)果,教師進(jìn)行適當(dāng)引導(dǎo)和評價。
問題2上面得到的式子√3,√s,√h5分別表示什么意義?它們有什么共同特征?
活動2【活動】講授
問題3你能用一個式子表示一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根嗎?
師生活動:學(xué)生小組討論,全班交流.教師由此給出二次根式的定義:一般地,我們把形如√a(a≥0)的式子叫做二次根式,“√ ”稱為二次根號.
追問:在二次根式的概念中,為什么要強(qiáng)調(diào)“a≥0”?
師生活動:教師引導(dǎo)學(xué)生討論,知道二次根式被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)的理由.
活動3【講授】辨析概念
例1當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時,√x2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義?
師生活動:引導(dǎo)學(xué)生從概念出發(fā)進(jìn)行思考,鞏固學(xué)生對二次根式的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)的理解.
例2當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時,√x2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義?√x3呢?
師生活動:先讓學(xué)生獨(dú)立思考,再追問.
問題4你能比較√a與0的大小嗎?
師生活動:通過分a> 0和a= 0這兩種情況的討論,比較√a與0的大小,引導(dǎo)學(xué)生得出√a ≥0的結(jié)論,強(qiáng)化學(xué)生對二次根式本身為非負(fù)數(shù)的理解,
活動4【練習(xí)】練習(xí)
練習(xí)當(dāng)x是什么實(shí)數(shù)時,下列各式有意義、
(1)√x2;(2)√34x(3)√x2√2x;(4)√xx1 、
練習(xí)1完成教科書第3頁的練習(xí)、
練習(xí)2當(dāng)x是什么實(shí)數(shù)時,下列各式有意義、
?。?)√x2;(2)√34x(3)√x2√2x;(4)√xx1 、
練習(xí)1完成教科書第3頁的練習(xí)、
練習(xí)2當(dāng)x是什么實(shí)數(shù)時,下列各式有意義、
(1)√x2;(2)√34x(3)√x2√2x;(4)√xx1 、
練習(xí)1完成教科書第3頁的練習(xí)、
練習(xí)2當(dāng)x是什么實(shí)數(shù)時,下列各式有意義、
?。?)√x2;(2)√34x(3)√x2√2x;(4)√xx1 、
活動5【活動】小結(jié)
小結(jié):
1、二次根式的意義:√a(a≥0)
2、二次根式的性質(zhì):
性質(zhì)1 √a2 = a(a≥0)
活動6【測試】目標(biāo)檢測
1、下列各式中,一定是二次根式的是()
A、√a B√3 、 C√x2+1 、 D、3√5
2、當(dāng)x取什么時,二次根式√3x無意義.
3、當(dāng)x取何值時,二次根式√x+3有最小值,其最小值是.
4、對于√3a1a3,小紅根據(jù)被開方數(shù)是非負(fù)數(shù),得出a的取值范圍是a ≥ 13.小慧認(rèn)為還應(yīng)考慮分母不為0的情況.你認(rèn)為小慧的想法正確嗎?試求出a的取值范圍.
活動7【作業(yè)】布置作業(yè)
教科書習(xí)題16、1第1,3,5,7,10題.
二次根式教學(xué)設(shè)計(jì)10
教學(xué)目的
1.使學(xué)生掌握最簡二次根式的定義,并會應(yīng)用此定義判斷一個根式是否為最簡二次根式;
2.會運(yùn)用積和商的算術(shù)平方根的性質(zhì),把一個二次根式化為最簡二次根式。
教學(xué)重點(diǎn)
最簡二次根式的定義。
教學(xué)難點(diǎn)
一個二次根式化成最簡二次根式的方法。
教學(xué)過程
一、復(fù)習(xí)引入
1.把下列各根式化簡,并說出化簡的根據(jù):
2.引導(dǎo)學(xué)生觀察考慮:
化簡前后的根式,被開方數(shù)有什么不同?
化簡前的被開方數(shù)有分?jǐn)?shù),分式;化簡后的被開方數(shù)都是整數(shù)或整式,且被開方數(shù)中開得盡方的因數(shù)或因式,被移到根號外。
3.啟發(fā)學(xué)生回答:
二次根式,請同學(xué)們考慮一下被開方數(shù)符合什么條件的二次根式叫做最簡二次根式?
二、講解新課
1.總結(jié)學(xué)生回答的內(nèi)容后,給出最簡二次根式定義:
滿足下列兩個條件的二次根式叫做最簡二次根式:
(1)被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù),因式是整式;
(2)被開方數(shù)中不含能開得盡的因數(shù)或因式。
最簡二次根式定義中第(1)條說明被開方數(shù)不含有分母;分母是1的例外。第(2)條說明被開方數(shù)中每個因式的指數(shù)小于2;特別注意被開方數(shù)應(yīng)化為因式連乘積的形式。
2.練習(xí):
下列各根式是否為最簡二次根式,不是最簡二次根式的說明原因:
3.例題:
例1 把下列各式化成最簡二次根式:
例2 把下列各式化成最簡二次根式:
4.總結(jié)
把二次根式化成最簡二次根式的根據(jù)是什么?應(yīng)用了什么方法?
當(dāng)被開方數(shù)為整數(shù)或整式時,把被開方數(shù)進(jìn)行因數(shù)或因式分解,根據(jù)積的算術(shù)平方根的性質(zhì),把開得盡方的因數(shù)或因式用它的算術(shù)平方根代替移到根號外面去。
當(dāng)被開方數(shù)是分?jǐn)?shù)或分式時,根據(jù)分式的基本性質(zhì)和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)化去分母。
此方法是先根據(jù)分式的基本性質(zhì)把被開方數(shù)的分母化成能開得盡方的因式,然后分子、分母再分別化簡。
三、鞏固練習(xí)
1.把下列各式化成最簡二次根式:
2.判斷下列各根式,哪些是最簡二次根式?哪些不是最簡二次根式?如果不是,把它化成最簡二次根式。
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